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2017.07.24

浦和校中3数学の授業[立体の切断]

3数学の授業は、入試問題演習の二巡目にはいっています。先日は「立体の切断」を扱いました。みなさんも自分で図を書いて考えてみてください。

 

【1辺の長さが12の立方体ABCD-EFGHに球が内接している。この立方体を次の各平面で切断するとき、球の切り口の半径を求めなさい。

  (1) 3点AEGを通る平面  (2) 3点AFHを通る平面  (3) ABの中点MFHを通る平面 】

 

「立体の問題を解くときの原則は?」 『平面を書き抜きます』 「どうして?」 『見取り図のまま解こうとすると形が正しくないので、角度や、長さを間違えやすいからです』 「最初は面倒くさいと思ったかもしれないけど、見取り図のままで想像力を働かせながら考えるより、ラフでいいので平面を書き抜いたほうが結局早いですね」 『しかも間違えない』 「面倒くさがって図を書かずに解こうとして小問(1)を間違えてそれを使って解いたので残りの小問も全滅したこともあったね」 『それは昔の話です、今はそんなことはしません』

 

「では始めましょう。(1)はどんな平面になりますか?」 『長方形AEGCになります』 「球の切り口は?」 『球の切り口はこの長方形にACの中点とEGの中点で接する円になるので、半径は6です」

(2)はどうですか?」 『 3点AFHを通る平面は正三角形になり、球の切り口はこの正三角形にAFの中点、AHの中点、FHの中点で接する円になります』 「そうだね、じゃ半径は?」 『正三角形の内接円の半径は高さの1/3だから、1辺が12√2になるので12√2×√3/×1/32√6になります』

「順調ですね。では(3)は?」 『3点MFHを通る平面はADの中点Nも通るので等脚台形MFHNになります』 「球の切り口は?」 『FHの中点で接するだけなので、図が書けません』 「図が書けないと半径出せないなぁ」 『困りました』 「困りましたじゃないでしょ。切断面を書き抜いてだめなときは、ほかの方法があったんじゃない?」 『そうだ、切断面に直交する別の平面を考えるんでした。ということは長方形AEGCですね、あっ、これは(1)のときと同じ図ですね』 「この図に切断面と交わる線分を追加するとどうなるかな?」 『ACの中点をPEGの中点をQ、APの中点をRとすると、切断面と交わる線分はRQになります』 「じゃあ、切り口の円の半径は?」 『中心からRQに垂線を引いて考えると、PQRと相似な三角形が出来るので、△PQRの3辺の比RP:RQ:PQ=1:3:2√2を利用して6×2√2/34√2になりました』 「正解です」

(2)を同じ方法で解くとどうなるかな?」 『まず長方形AEGCACの中点PEGの中点Qに接する円を書いてっと。切断面と交わる線分はAQになるので、中心からAQに垂線を引くとAPQと相似な三角形が出来ます。△APQの3辺の比はAP:AQ:PQ=1:√3:√2になるのでこれを利用して6×√2/√32√6になりました』 「そうですね、ひとつの問題を別のアプローチで解いてみるのは問題解決力を強化するのにいいトレーニングですから、答えが出たからと安心せずにほかの解法にもチャレンジしてみましょう。本日はこれまで」

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