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2017.12.18

浦和校中2数学の授業[放物線の性質]

中2数学の授業は、2学期から知識の点検をかねて各分野の問題演習に入っています。今日は2乗に比例する関数がテーマです。

 

「まずは放物線 ax² …①放物線 bx² …②のグラフを書きなさい、>0 とします」 『書けました、どっちが内側かって聞くんですよね。b だから①の ax² が内側です』 「先生の質問の先回りが出来るようになってきましたね。じゃ今度は直線 mx …③直線 nx …④のグラフを追加しよう。>0、< 0 とします」 『全部原点を通りますね』 「そうだね、じゃ、原点以外の点の名前を決めておこう。放物線①と直線③の交点をA、放物線②と直線③の交点をB、放物線①と直線④の交点をC、放物線②と直線④の交点をDにしておこう」

 

「さてここから質問していこうかな。点Aの座標は?」

(A君)『  ax²  …①と mx …③を連立させて、1つは原点だから点Aの 座標は m/a になります』 「そうだね、じゃ、点Bは?」

(Bさん)『 bx²  …②と mx …③を連立させて点Bの 座標はm/b になります』 「答は合ってるけど、なんか気付かない?」

(Bさん)『 う~んと、そっか。①と②はが変わっただけだから、A君の答の a を にすればいいんですね』 「そういうこと。ということで点C、Dは を に変えればいいので、点Cの 座標は n/a 、点Dの 座標は n/b だね。これで準備完了っと」

 

『えっ、今までのは準備だったんですか』 「当たり前です、交点があったら聞かれてなくても座標を出しとけっていつもいってるでしょ。あと2乗に比例する関数の場合はとりあえず 座標だけ出しとけばいいからね。さてここからが本題です。4つの点の 座標をみて何か気付くことはない?」
(C君)『みんな似たような形しています』
「そりゃそうだけど、ちょっとヒント出そうかな。線分OAとOBの関係は?」

(Dさん)『 同一直線上だから長さの比は 座標で考えればいいんですよね。だからOA:OB = m/a : m/b =  1/a : 1/b =b : a になります。 と が逆になっちゃったけど、b だからこれでいいんですね』

「いいとこに気付いたね。数字だと間違わないけど文字のときは気をつけようね。次は?」

(Bさん)『OC:OD = n/a : n/b =  1/a : 1/b =b : a になります』

 

「はい、ここまでで何か気付いた人いる?」

(A君)『DさんとBさんの式から考えるとOA:OB=OC:OD になりますよね。わかったぞ!相似だ』

「その通り。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので△OAC∽△OBDになりますね。実は2乗に比例する関数のグラフはすべて原点を相似の中心とする相似の位置にあったんですね」

(Dさん)『 AC//BDになるから四角形ABDCは台形になるんですね』「そういうこと。四角形の面積を求めさせる問題とかあるけど、みんなは台形になるって判っちゃたんだから面積比=(相似比)²  を使ってちゃちゃっと出しちゃってね。では、きょうはここまで」

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