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2017.10.30

浦和校中2数学の授業[四角形の2等分]

今日も先週に続いて中2数学の授業です。先週は三角形の面積2等分でしたので、今日は四角形の2等分を扱います。

 

「まずは基本の確認から。平行四辺形を2等分するにはどうするんだった?」 『対角線の交点を通る直線はすべて平行四辺形を2等分します』 「そうだね、説明は省略。じゃ、台形を2等分する直線は?」 『上底の中点と下底の中点を結んだ線分の中点を通る直線です』 「付け加える条件はなかった?」 『上底、下底それぞれに交わらなきゃいけないんでした』 「そうだったね、この条件を忘れないようにね。ということで、今日は上底、下底と交わらない直線で台形を2等分する問題をやってみましょう。では例題です、今日は関数と絡めてやってみましょう」

 

【座標平面上の4点O(0,0)、A(12,0)、B(10,10)、C(6,10)を結んで台形OABCを作る。OCの中点Mと台形の周上の点Pを結んだ線分が台形OABCを2等分するとき、点Pの座標を求めなさい

 

「ではやってみましょう。いろいろな解き方が考えられるけど、どう解いたかな?」

 

(A君)『僕はまずBMとAMを引きました』 「なんで、そうしたの?」 『面積を2等分する問題なのでとりあえず面積を求められる部分からやってみました』 「そうだね、手がかりになりそうなところから始めるのが定石だったね」 『そうすると△BCM=10、△MOA=30とわかります。台形OABCは80だから線分MPで2等分するには点Pを辺AB上にとって△MPAを10 にすればいいことになります。△MBA=80-(10+30)=40 なので、△MBA:△MPA=40:10=4:1  から点PはBAを3:1に内分する点になるので、点Pの座標は(23/2,5/2) になります』 「はい正解です。具体的な面積を利用するという基本に忠実な解法ですね。他の解き方した人は?」

 

(Bさん)『私はABの中点をNとしてMNを引きました』 「なんで、そうしたの?」 『中点ときたら中点連結です』 「台形の中点連結定理ね。で、MNを結んでどうするの?」 『MNの長さは(4+12)÷2で 8になるので△MNA=20 になります。あとはA君と同じように面積を比べると△MNA:△MPA=20:10=2:1 になるので点PはNAの中点になります。点Nの座標が(11,5) だから、点Pは23/2,5/2) になりました」』 「はいこれも正解です、自分がわかりやすい補助線を引いてみることはいいことですね。他の解き方した人は?」

 

(C君)『僕はいちいち面積を計算したりしません』 「張り合ってきましたね」 『点Pは辺AB上に来るしかないことは明らかなので適当なところに取ります。真ん中より少し下ぐらいです。PC、PM、POを結ぶとCM=MOなので△PCM=△PMOになります。だからMPが台形OABCを2等分するには残った△PBCと△PAOが同じ面積になればいいわけです。それぞれの底辺をBC、AOと考えればBC:AO=4:12=1:3 なので同じ面積にするには高さを逆比の3:1にすればいいので、点PはBAを3:1に内分する点になるのでA君と同じになります』 「はいこれも正解、中点を上手に使うことで確かにどこも面積を計算しないで解けましたね。他の解き方した人は?」

 

(Dさん)『私はみんなみたいにいろいろ補助線を引いたりしません』 「相変わらず挑戦的ですね」 『まずOCとABを延長して交点Dの座標を求めると(9,15)になります』 「三角形を作るんですね。ということはお得意のあれかな?」 『台形OABCの面積は80なので四角形OAPMの面積は40です。△DOA=90なので、△DMP=90-40=50になります。△DOAと△DMPは∠Dを共有しているので、△DOA:△DMP=DO×DA:DM×DP になります。これが90:50=9:5 になればいいので、点Pの座標をとすると、線分の長さを座標で考えて、9×(12-9):(9-3)×(p-9)=9:5 を解いてt=23/2 となります。よって点Pの座標は(23/2,5/2) になります』 「はい正解。やっぱり頂角を共有する三角形を利用しましたね。ここまで応用できれば言うことありません、よく出来ました」

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