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2017.10.23

浦和校中2数学の授業[三角形の2等分]

中2数学の授業は、夏期講習で中3までの教科書内容の単元学習を終了し、2学期から知識の点検をかねて各分野の問題演習に入っています。今日は三角形の面積2等分がテーマです。

 

「まずは基本の確認から。△ABCを点Aを通る線分で2等分するにはどうする?」 『BCの中点Mをとって、Aと結びます』 「△ABMと△AMCはBM、MCを底辺と考えれば、高さが共通だから、底辺が等しいから同じ面積になるね。当たり前のことなんだけど、これがすべての基本だからね。では例題に移ろうかな」

 

【△ABCにおいて、辺ABを1:5に内分する点をPとする。点Pを通る線分PQが△ABCを2等分するとき、点Qはどこになるか】

 

「では解いてみましょう。いろいろな解き方があったけど、どう解きましたか?」

 

(A君)『まずBCの中点MとAを結びます』 「なんで、そうしたの?」 『確実に△ABCを2等分出来る線分からはじめてみることが基本です』 「そうだね、さっき先生が言ったことだけどね」 『でもこれだとPMを引いても2等分にならないので、はみ出している△APMを等積変形します』 「どういう風に?」 『点AからPMに平行な直線を引いてBCとの交点をQとすると△APM=△QPMとなるので、△ABCはPQで2等分されます』 「点Qはどこになるの?」 『BM:MQ=BP:PA=5:1 なので、BQ:QC=(5+1):(5-1)=6:4=3:2 となって、点QはBCを3:2に内分する点になります』 「はい正解です。基本に忠実な解法ですね。他の解き方した人は?」

 

(Bさん)『私はABの中点NとCを結びます』 「なんで、そうしたの?」 『A君と同じのじゃつまらないからです』 「おっ、張り合ってますね」 『PCを引いても2等分できないので、点NからPCに平行な直線を引いてBCとの交点をQとすると△NPC=△QPCとなるので、△ABCはPQで2等分されます』 「点Qはどこになるの?」 『BQ:QC=BN:NP=(5+1)÷2:5-(5+1)÷2=3:2 なので、点QはBCを3:2に内分する点になります』 「はいこれも正解です。ライバル心メラメラですね。他の解き方した人は?」

 

(C君)『僕ははじめに2等分しません』 「さらに張り合ってきましたね」 『まず点AからPCに平行な直線を引いてBCの延長との交点をDとします』 「どうしてそうしたの?」 『こうすると△PBD=△ABCとなってPが頂点の三角形になるので2等分しやすいからです』 「それから?」 『BDの中点をQとしてPQを引けば一発で2等分できます。BC:CD=BP:PA=5:1 なのでBQ:QC=BN:NP=(5+1)÷2:5-(5+1)÷2=3:2で同じ答えになります』 「はいこれも正解。Pが頂点じゃないなら頂点にしちゃおうって発想で先に等積変形したわけですね。他の解き方した人は?」

 

(Dさん)『私はみんなみたいに平行線は引きません』 「おやおや、すいぶんと挑戦的ですね」 『まず点Qがどの辺にあるかを考えます。PCを結ぶと△APC:△BPC=1:5 となるので点Qは明らかに辺BC上になります。そうすると△ABCと△PBQは∠Bを共有しているので、△ABC:△PBQ=BA×BC:BP×BQ になります。これが2:1 になればいいので(5+1)×BC:5×BQ=2:1 を解いてBC:BQ=5:3だから、点QはBCを3:2に内分する点です』 「はいこれも正解。頂角を共有する三角形の性質を利用しましたね。計算まで考えるとこれが一番早いかな、よく出来ました」

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