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2017.09.25

浦和校中3数学の授業[早大本庄の入試問題]

3数学の授業は、各生徒の受験校の過去問を使った総合演習を行っています。先日は全員が受験する早稲田本庄高等学院の平成28年度の問題を取り扱いました。

 

大問3の生徒の解法が面白かったので紹介してみましょう。みなさんも自分で図を書いて考えてみてください。制限時間は10分です。

【座標平面上に、点P(0,6)を通る直線 と、中心が点Pで半径6の円がある。この円と直線の交点のうち、座標の値の大きい方を点A、小さい方を点Bとする。また、直線 l軸との交点をDとする。∠BDO=60°であるとき、次の各問に答えよ。

  問1 直線 l の方程式を求めよ。

  問2 三角形OABの面積Sを求めよ。

  問3 OA=、OB=b とするとき、ab の値を求めよ。】

 

「では解説に入ります。問1は瞬殺で y=√3 x+6ですね。問2、問3はどう解きましたか?」

(A君)『円の方程式が x²+(y-6)²=6²になるので、直線 l の式と連立させると、=±3 になるんで点A、Bの座標はA(3、3√3 +6)、B(-3、-3√3 +6)になります』 「円の方程式使ったのね、それから?」

(A君)『三角形OABの面積は1/2絶対値公式で1/2×{3(-3√3 +6)+3(3√3 +6)} =18です』「問3は?」

(A君)『点の座標が分かっているので三平方の定理でOA、OBを計算しました。二重根号が出てきたけど、なんとか出ました。OA=3(√6 +√2)、OB=3(√6 -√2) になるのでa=6√2 です』 「正解です。オール関数で解きましたね。関数好きのA君らしいですね。ほかの解き方した人はいますか?」

 

(Bさん)『私は∠BDO=60°を使おうと思ったので、点Bからy 軸に垂線BHを引きました。そうすると△PBHは∠PBH=60°の直角三角形なので、BH:PB:PH=1:2:√3 になってPB=6からBH=3 になります。PB=PAなので、△OAB=2△OPB=2×(1/2×6×3)=18です』 「問3はどう解いたの?」

(Bさん)『ABは円の直径なので∠AOB=90°、よって△OABで三平方の定理より a²+b²=12²で、また△OAB=1/2 aなので問2から ab =36 になります。(ab)² a²+ b²-2ab=12²-36×2=72になって、a>b なのでab =√72  =6√2 です』 「特別角、円の性質、式の変形を利用しましたね。出題者の狙いをきちんと読み取ったオーソドックスな解き方です。Bさんらしいですね。ほかには?」

 

(C君)『なんか、すぐできちゃったんですけど。ABは円の直径なので△OABは直角三角形で、∠OPB=30°が中心角なので円周角の∠OAB=15°ですよね。そうすると△OABは15°、75°、90°の直角三角形だから、AB:OA:OB=4:√6 +√2:√6-√2 になるので、AB=12からOA=3(√6 +√2)、OB=3(√6 -√2)になって、面積もab もすぐ出ました』 「そうきましたか、図形好きのCくんらしいね。これが最速かも知らないですね」

 

生徒諸君の問題処理能力もだいぶ上がってきたようです。入試まであと少し、この調子で最後まで頑張って全員が目標校合格を実現してほしいものです。

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