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2017.07.18

浦和校中2数学の授業

先日の中2の数学の授業は、「平行線と線分の比」の応用問題を扱いました。いつものように、みなさんも自分で図を書いて考えてみてください。

 

【△ABCにおいて、辺ABBCCA21に内分する点を、それぞれDEFとする。AECDBFAECDBFの交点を、それぞれPQRとするとき、△ABCと△PQRの面積比を求めなさい】

 

「もともとの問題は小問に分かれているんだけど、誘導に乗って正解にたどり着いても思考力はつきませんから、誘導の小問ははずしちゃいました」 『きびし~』 「何いってんの、誘導小問はずしはいつものことでしょ。さあ、どこから手をつけようかな?」

『まずは線分比が出せそうです』 「線分比といってもたくさんあるよね。どこ?」 『じゃあ、線分AE上のAP:PEAQ:QEからいきます』「解き方のポイントは?」『必要な線分だけ書き抜きます。AP:PEを求めるには線分AEとCDAQ:QEは線分AEBFだけを書きます』 「必要がない線分は書かない方がシンプルですからね。答えは?」『AP:PEが61AQ:QEが34になりました。』「正解、平行な補助線を引いても、面積比の利用でも、好きな方でやってね。ほかの線分比は?」 『じゃあ次は線分BF上でっと。あれ、線分AEのときと同じ図になるぞ。そうかわかりましたよ、図を回転させてみると同じ状態になるので、BQ:QFAP:PEと同じ61BR:RFAQ:QEと同じ34になります。線分CD上のCRRDCP:PDも同じように考えて6:1と34ですね』 「よく気付きました、正解です。DEFの定め方が同じなので回転させると同じ図になるんですね。これで線分比がすべて求められました。次はどうします?」

面積比に取りかかります。△AEC、△BFA、△CDBはいずれも△ABC1/3になります』 「ほかは?」 『求めておいた線分比を使うはずだから、AP:PE61を使うと△APCは△AEC6/7だから、△ABCと比べると1/3×6/72/7になります』 「ほかには?」 『線分比のときと同じように回転させて考えると、△BQAと△CRBもABC2/7になります。あっ、わかりました。PQRは、△ABCから△APCと△BQAと△CRBを引けばいいので、△ABC1/7になります。だから答えは△ABC:△PQR71です』

「大正解です。もともとの問題は、(1)BQ:QFを求めなさい (2)△ABC:△BQAを求めなさい (3)△ABC:△PQRを求めなさい と分かれていました。誘導に頼らず自分で道を切り開けましたね。AQ:QEは使いませんでしたけどね」 『求められるものは聞かれなくても求めろの精神です』 「はは、それは先生の台詞です。やってみないことには使うかどうかわかりませんからね。いつもこの調子で行きましょう。では今日はここまで」

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