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2017.01.27

浦和校中2の数学授業[折り返し]

中2の数学の授業は、7月までで中3までの教科書内容をすべて終了し、夏期講習から入試問題の演習に入っています。昨日は「折り返し」問題を扱いました。みなさんも自分で図を書いて考えてみてください。

1辺が10の正方形ABCDにおいて、AB上に点Q、CD上に点Pをとり、線分PQを折り目として正方形を折ったところ、点CがAD上の点Rに重なり、RD=2となった。このとき、次の問いに答えなさい。
(1) PDの長さを求めなさい。
(2) 折り返された図形の面積を求めなさい。

正解は(1) 24/5、(2) 42です。全員正解でしたが、いつものことながら解法は様々でした。(1)は4名中2名が、RとCを結んでPQとの交点をHとして、△CDR∽△CHPを利用していました。折り返し問題の基本である「折り目の線は対応する点を結んだ線分を垂直に2等分する」を使った解法ですね。1名はオーソドックスにPD=xとして△PDRで三平方の定理を使っていました。この3名はその後は90°くい込み形の相似を使ったりして残りの線分の長さを求め(2)の面積を出していました。もう1名は正方形を座標平面上に置いて、線分RCの中点を通りRCと直交する直線の式を作ってP、Qの座標を求めてから、(1)(2)を一気に出していました[この生徒はほかの問題も関数を使った解法に拘っていました]。生徒たちはほかの生徒の解法を聞きながら、うなずいたり、そんな解き方があるんだと感心したり、ライバル心を燃やしているようです。私の授業はいつもこんな感じです。解法を説明させてみることでそれが論理的かどうかを生徒自身に気付かせることが出来ます。また、ほかの生徒の解法を聞くことで思考の幅を拡張させることも出来ます。基本問題ならまだしも、標準レベル以上の問題なら、一般の問題集のように解法が一通りしかないなんてありえないですからね。生徒から出てきた解法が不十分な場合は私が補足したり、よりエレガントな解法を披露したりもしています。
ちなみに、この問題では点Qから辺CDに垂線QSを引くと△CDR≡△QSPとなって、(1)の後(2)を求めるのがもっと早くなりますが、これに気付いた生徒はいませんでした。まだまだだなぁ。

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